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   主题：初等概率统计每日n题  | 数螺 | NAUT IDEA
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      <a href="/databee">
       <p>
        数螺
       </p>
      </a>
     </div>
     <div class="hidden-xs col-sm-6 text-right">
      <p>
       致力于数据科学的推广和知识传播
      </p>
     </div>
    </div>
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   <h1>
    主题：初等概率统计每日n题
   </h1>
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        菜单
       </h3>
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       <article class="post-18435 topic type-topic status-publish hentry" id="post-18435">
        <header class="entry-header">
         <h1 class="entry-title">
          初等概率统计每日n题
         </h1>
        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <div id="bbpress-forums">
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           <p>
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             COS论坛 | 统计之都
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             数理统计
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             ›
            </span>
            <span class="bbp-breadcrumb-current">
             初等概率统计每日n题
            </span>
           </p>
          </div>
          <div class="bbp-template-notice info">
           <p class="bbp-topic-description">
            该主题包含 11 条回复，2个帖子，最后由
            <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/abaead86be3dc59380199f1e9e35c5bb?s=14&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
            </a>
            <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
             easttiger
            </a>
            在
            <a href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-311539" title="回复：初等概率统计每日n题">
             5 年, 6 月 之前
            </a>
            更新。
           </p>
          </div>
          <div class="bbp-pagination">
           <div class="bbp-pagination-count">
            查看 12 个帖子 - 1 到 12（总计 12 个）
           </div>
           <div class="bbp-pagination-links">
           </div>
          </div>
          <ul class="forums bbp-replies" id="topic-18435-replies">
           <li class="bbp-header">
            <div class="bbp-reply-author">
             作者
            </div>
            <!-- .bbp-reply-author -->
            <div class="bbp-reply-content">
             帖子
            </div>
            <!-- .bbp-reply-content -->
           </li>
           <!-- .bbp-header -->
           <li class="bbp-body">
            <div class="bbp-reply-header" id="post-18435">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月14日 上午5:50
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-18435">
               1 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-18435 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-1 user-id-103183 topic-author post-18435 topic type-topic status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/abaead86be3dc59380199f1e9e35c5bb?s=80&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               bbs适合开连载贴,欢迎大家加入. 这就开始吧
               <br/>
               <br/>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题: 化简下式
               </strong>
               <br/>
               <img src="http://hku.hk/jdong/img/cos0001p.gif"/>
              </p>
              <p>
               解:
               <br/>
               <img src="http://hku.hk/jdong/img/cos0001.gif"/>
              </p>
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 从6个字母a,b,c,d,e,f中任取3个相异字母, 试求下述各事件的概率:
                <br/>
                (1) a与b至少有一个被取到
                <br/>
                (2) d与e全都被取到
                <br/>
                (3) a与b二者或d与e二者全都被取到
                <br/>
                (4) c和f都没被取到
               </strong>
              </p>
              <p>
               解:
               <br/>
               用大写字母表示”相应小写字母被取到”这一事件的发生, 比如A = “字母a被取到”, 相应的概率为Pr(A)
               <br/>
               这里全集为X = 全体由abcdef中任意三个不同字母组成的三元集合. 于是#X = choose(6,3) = 20. (#A表示集合A中元素个数).
               <br/>
               sigma-代数为幂集
               <bblatex>
                2^X
               </bblatex>
               <br/>
               概率为古典概率空间, 即每个原子事件等概率; 任何事件的概率等于其与全集所含原子事件的个数比.
              </p>
              <p>
               于是
               <br/>
               (1)所描述的事件的概率为
               <br/>
               Pr(AUB) = #(AUB) / #X = #(AUB)/20.
               <br/>
               #(AUB) = #A + #B – #AB = choose(5,2) + choose(5,2) – choose(4,1) = 16.
               <br/>
               故Pr(AUB) = 16/20 = 0.8
              </p>
              <p>
               (2)所描述的事件的概率为
               <br/>
               Pr(DE) = #(DE) / 20 = choose(4,1) / 20 = 0.2
              </p>
              <p>
               (3) 所描述的事件的概率为
               <br/>
               Pr((AB)U(DE)) = Pr(AB) + Pr(DE) – Pr(ABDE)
               <br/>
               显然ABDE是空集, 或者说是个不可能事件, 故最后一项概率为0
               <br/>
               而Pr(AB) = Pr(DE) = choose(4,1) = 4
               <br/>
               故Pr((AB)U(DE)) = Pr(AB) + Pr(DE) = #(AB)/20 + #(DE)/20 = 0.4
              </p>
              <p>
               (4) 所描述的事件的概率为
               <br/>
               Pr(
               <bblatex>
                C^cF^c
               </bblatex>
               ) = 1 – Pr(CUF) = 1 – 0.8 = 0.2
              </p>
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题  一幢10层的楼房中的一架电梯, 在底层登上7位乘客. 电梯在每一层都停, 乘客从第二层起离开电梯. 假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的, 求没有两位及两位以上的乘客在同一层离开的概率.
               </strong>
               <br/>
               <br/>
               解
               <br/>
               样本空间X为全体7元矢量 v = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) 每个ak都可取2-10这9个整数中的一个, 所以#X =
               <bblatex>
                9^7
               </bblatex>
               =4782969
               <br/>
               所描述的事件为A = X中全体任意两个坐标都不相等的点的集合
               <br/>
               #A = 9 * 8 * 7 * … * 3 = prod(9:3) = 181440
               <br/>
               所以Pr(A) = #A / #X = 0.379346
              </p>
             </div>
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            </div>
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               2010年2月15日 上午10:05
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              </a>
              <br/>
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               easttiger
              </a>
              <br/>
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               版主
              </div>
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             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 袋中有a个黑球, b个白球. 现将球随机地一个个摸出来, 球第k个球是黑球的概率( k =1,2, …, a+b)
               </strong>
              </p>
              <p>
               解
               <br/>
               第k个球是黑球的概率和第一个球是黑球的概率无异, 所以结论是a/(a+b)
               <br/>
               或者也可以按部就班地算此题:
               <br/>
               概率空间X是全体这样的(a+b)维矢量v: v的a+b个元素中有a个是0, b个是1.
               <br/>
               #X = choose(a+b, a) = choose(a+b,b)
               <br/>
               所求事件为所有vk = 0的v组成的集合A
               <br/>
               #A = choose(a+b-1, a-1) = choose(a+b-1, b)
               <br/>
               故Pr(A) = #A / #X = choose(a+b-1,b) / choose(a+b,b) = a/(a+b)
              </p>
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 某油漆公司发出17桶油漆, 其中白色10桶, 黑色4桶, 红色3桶. 在运输途中所有漆桶上的标签全部都脱落, 交货人随意将这些标签重新贴上. 求一位订购了4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的用户按所定颜色得到订货的概率是多少?
               </strong>
              </p>
              <p>
               解
               <br/>
               将”交货人随意将这些标签重新贴上”这句话忽略, 问题就清楚多了. 结论为choose(10,4)*choose(4,3)*choose(3,2) / choose(17,9) = 252 / 2431
              </p>
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 已知市场上出售的灯泡中, 由甲厂生产的占70%, 乙厂生产的占30%. 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂产品的合格率是80%. 今从市场上买了一个灯泡, 求(1) 是甲厂生产的合格品的概率; (2) 是乙厂生产的不合格品的概率.
               </strong>
              </p>
              <p>
               解
               <br/>
               设
               <br/>
               事件A = “甲厂产”
               <br/>
               事件W = “合格品”
               <br/>
               则
               <br/>
               P(A) = 0.7
               <br/>
               P(W|A) = 0.95
               <br/>
               P(W|
               <bblatex>
                A^c
               </bblatex>
               ) = 0.8
               <br/>
               <bblatex>
                P\left( {W|{A^c}} \right) = 0.8
               </bblatex>
              </p>
              <p>
               则(1)所求的事件是AW, 概率Pr(AW) = P(W|A)P(A) = 0.95*0.7 = 0.665
               <br/>
               (2)所求的事件是
               <bblatex>
                {W^c}{A^c}
               </bblatex>
               , 概率
               <bblatex>
                P\left( {{W^c}{A^c}} \right) = P\left( {{W^c}|{A^c}} \right)P\left( {{A^c}} \right) = \left( {1 – P\left( {W|{A^c}} \right)} \right)P\left( {{A^c}} \right) = 0.06
               </bblatex>
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-283832">
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              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月16日 上午6:31
              </span>
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               3 楼
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              </a>
              <br/>
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               g.tower
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               Lz叙述非常标准呀，小弟也奉上一题，有近似计算。
              </p>
              <p>
               <strong>
                题   把数字1，2，…..，n 任意排成一列，如果数字 k 恰好出现在第 k 个位置上，则称为一个匹配，求匹配数的数学期望。
               </strong>
              </p>
              <p>
               解    先对我们熟悉的 n 个数字至少有一个配对进行求解
               <br/>
               <br/>
               令
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20A_i"/>
               ={第 i 个数字恰好对在了第 i 个位置上}
              </p>
              <p>
               则所求概率为
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20P%28%5Cbigcup_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%29"/>
               <br/>
               易知，
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20P%28A_i%29=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cto%20%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7DP%28A_i%29=1"/>
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P%28A_iA_j%29=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n-1%29%7D%20%5Cto%20%5Csum_%7B1%5Cleq%20i&lt;%20j%5Cleq%20n%7DP%28A_iP_j%29=%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%28n-1%29%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D"/>
              </p>
              <p>
               ….           知
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P%28%5Cbigcup_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7DA_i%29=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D-%5Cdots+%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D"/>
              </p>
              <p>
               再对其对立事件求解：0个配对概率
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_0=1-%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D-%5Cdots+%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D%29"/>
              </p>
              <p>
               同理，对恰有 m 个配对的事件
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cxi"/>
               可以分为两部分来看：n 个中 m 个配对，其余 n-m 个0配对，概率为
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_m=\binom{n}{m}\frac{1}{n\dots(n-m+1)}[1-(1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\dots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!})]\approx\frac{e^{-1}}{m!}"/>
              </p>
              <p>
               故匹配数期望
               <br/>
               <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?E%5Cxi=%5Csum_%7Bi=m%7D%5E%7Bn%7DmP_m=e%5E%7B-1%7D%281+1+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D+%5Cdots+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-1%29%21%7D%29%5Capprox%20e%5E%7B-1%7De=1"/>
               <br/>
               当然，n 越大越好，当根于经验 n 大于10时，近似度已经非常好了。
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-283847">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月17日 上午11:27
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-283847">
               4 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-283847 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-4 user-id-103183 topic-author post-283847 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/abaead86be3dc59380199f1e9e35c5bb?s=80&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数, 求X的概率分布.
               </strong>
              </p>
              <p>
               解 显然这里X是一个随机变量, 它的像空间空间为{0,1,2,3}, 我们要求像空间上的诱导概率
               <bblatex>
                {P^X}
               </bblatex>
               .
               <br/>
               它的域空间是这样一个三维矢量v = [x, y, z]的空间, 其中x,y,z都只取两个值0(绿)或1(红), 本别代表第一, 二, 三个路口亮灯的颜色. 域空间上的概率P是古典概率, 即其中每个原子(矢量)所赋概率是相等的.
              </p>
              <p>
               则
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 0 \right\} = P\left\{ {\left[ {1,y,z} \right]} \right\} = {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 2}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 2}
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 1 \right\} = P\left\{ {\left[ {0,1,z} \right]} \right\} = {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 4}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 4}
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 2 \right\} = P\left\{ {\left[ {0,0,1} \right]} \right\} = {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 8}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 8}
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 3 \right\} = P\left\{ {\left[ {0,0,0} \right]}\right\} = {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 8}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 8}
               </bblatex>
               <br/>
               当然此题也可以用不正式地的办法做, 但一定要想清楚.
              </p>
              <p>
               对于初学者来说, 可能有些精确的概念在初等书里不讲, 但是这些概念恰恰是使得一些初等问题变得容易下来的工具. 一些初等题困难在于模型想不清楚, 没有确定性. 这是因为缺乏这样的精确概念, 比如什么是样本空间, 什么是随机变量, 概率和分布是什么联系, 随机变量和分布是什么联系, 还有比如Pr(X=1)这样的符号和Pr本身这个符号到底是什么意思等等, 都不太清楚. 所以最好能去了解一下这些东西.
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-283863">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月18日 下午12:41
              </span>
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               5 楼
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 假定每个人生日在各个月份的机会是相同的, 求三个人中生日在第一季度的人数的期望.
               </strong>
              </p>
              <p>
               解
               <br/>
               随机变量是”三人中生日在第一季度的人数”这个函数X.
               <br/>
               对概率模型比较熟悉的话, 会看出X~binom(3, 1/4)
               <br/>
               所以E(X) = sqrt(npq) = sqrt(3 * 1/4 * 3/4) = 3/4
              </p>
              <p>
               如果不能一眼看出这是二项分布, 也可以按部就班地做:
               <br/>
               X的值域V是V = {0,1,2,3}, 即0~3个人
               <br/>
               X的定义域W是全体这种三维矢量w = [x, y, z], 其中x,y,z分别代表每个人”生日所在的季度”, 可取1,2,3,4表示生日在1,2,3,4季度.
               <br/>
               易知
               <bblatex>
                \# W = {4^3} = 64
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 0 \right\}
               </bblatex>
               这个概率的意思是三人中没人生日在第一季度的概率, 它等于:
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 0 \right\} = P\left\{ {w:X\left( w \right) = 0} \right\} = {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left( {\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 0} \right\}} \mathord{\left/{\vphantom {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits}:X\left( {\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 0} \right\}} {64}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{{3^3}} \mathord{\left/{\vphantom {{{3^3}} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{27} \mathord{\left/{\vphantom {{27} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}}
               </bblatex>
               <br/>
               同样可算
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 1 \right\} = P\left\{ {w:X\left( w \right) = 1}\right\} = {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left({\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 1} \right\}}\mathord{\left/{\vphantom {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left( {\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 1} \right\}} {64}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{3 \times 3 \times 3} \mathord{\left/{\vphantom {{3 \times 3 \times 3} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{27} \mathord{\left/{\vphantom {{27} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}}
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 2 \right\} = P\left\{ {w:X\left( w \right) = 2}\right\} = {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left({\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 2} \right\}}\mathord{\left/{\vphantom {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left( {\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 2} \right\}} {64}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{3 \times 3} \mathord{\left/{\vphantom {{3 \times 3} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {9 \mathord{\left/{\vphantom {9 {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}}
               </bblatex>
               <br/>
               <bblatex>
                {P^X}\left\{ 3 \right\} = P\left\{ {w:X\left( w \right) = 3}\right\} = {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left({\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 3} \right\}}\mathord{\left/{\vphantom {{\# \left\{ {{\mathop{\rm w}\nolimits} :X\left( {\mathop{\rm w}\nolimits}  \right) = 3} \right\}} {64}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}}
               </bblatex>
               <br/>
               于是再根据期望的定义式
               <br/>
               <bblatex>
                E\left( X \right) = 0 \cdot {{27} \mathord{\left/{\vphantom {{27} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} + 1 \cdot {{27} \mathord{\left/{\vphantom {{27} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} + 2 \cdot {9 \mathord{\left/{\vphantom {9 {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} + 3 \cdot {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {{48} \mathord{\left/{\vphantom {{48} {64}}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} {64}} = {3 \mathord{\left/{\vphantom {3 4}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} 4}
               </bblatex>
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-283911">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月20日 下午5:59
              </span>
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               6 楼
              </a>
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            <!-- #post-283911 -->
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             <div class="bbp-reply-author">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 一幢大楼装有5个同一型号的供水设备. 已知在任一时刻t, 每个设备被使用的概率为0.1, 求在同一时刻
               </strong>
               <br/>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                (1) 恰有两个设备被使用的概率
               </strong>
               <br/>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                (2) 至少3个设备被使用的概率
               </strong>
               <br/>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                (3) 至多3个设备被使用的概率
               </strong>
               <br/>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                (4) 至少一个设备被使用的概率
               </strong>
              </p>
              <p>
               解
               <br/>
               这里的随机变量X为"在同一时刻使用中的设备的个数".
              </p>
              <p>
               X的域空间为5维向量, 每个向量的5个分量只能取0或1. 域空间里每个5维向量分得概率按照"每个设备使用中的概率为0.1"来分配. 比如[0,0,0,0,1]分得概率(0.9
               <sup class="d4pbbc-sup">
                4
               </sup>
               )(0.1) = 0.06561
              </p>
              <p>
               X的值空间为{0,1,2,3,4,5}, 须一眼看出值空间上的概率分布为二项分布binom(size=5, prob=0.1), 所以X是一个遵从二项分布的随机变量.
              </p>
              <p>
               于是,
               <br/>
               (1) Pr(X=2) = dbinom(x=2, size=5, prob=0.1) = 0.0729
               <br/>
               (2) Pr(X&gt;=3) = sum(dbinom(x=3:5, size=5, prob=0.1)) = 0.00856
               <br/>
               (3) Pr(X&lt;=3) = sum(dbinom(x=0:3, size=5, prob=0.1)) = 0.99954
               <br/>
               (4) Pr(X&gt;=1) =  1 – dbinom(x=0, size=5, prob=0.1) = 0.40951
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-284051">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月25日 下午12:39
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-284051">
               7 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
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             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-284051 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-7 user-id-103183 topic-author post-284051 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 设总体X的均值为mu, 方差为s
               </strong>
               2
               <strong class="d4pbbc-bold">
                , 但均未知, 试求mu及s
               </strong>
               2
               <strong class="d4pbbc-bold">
                的矩估计.
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               参数估计是用样本上形成的统计量来追溯总体的参数.
               <br/>
               矩估计是用样本上计算出来的矩值来作为总体的对应矩的估计值.
               <br/>
               所以
               <br/>
               总体的均值的矩估计量为样本均值
               <br/>
               总体的方差
               <sup class="d4pbbc-sup">
               </sup>
               的矩估计量 = 样本的样本的二阶矩 – 样本均值的平方.
               <br/>
               <img src="http://web.hku.hk/%7Ejdong/img/mmtest.gif"/>
              </p>
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 试求事件A发生概率p的矩法估计值.
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               总体为一个Bernoulli(p)分布的随机变量, 估计p可转换为估计这一随机变量的n个iid副本的和的均值np, 这是因为n个iid该随机变量的和这一随机变量的分布律为binom(n,p).
               <br/>
               这一步蕴含了一连串的变换, 首先是制作n个iid副本, 其次是对这n个iid副本求和, 最后是对这个和取期望. 所以新总体是这个和. 现在等于要去估计这个和.
               <br/>
               于是样本可设计成容量=n, 其中每个随机变量都服从Bernoulli(p). 统计量是样本中n个Bernoulli(p)随机变量的和.
               <br/>
               用矩法估计该均值的意思是直接用样本均值来作为总体均值的估计量. 于是
               <br/>
               <img src="http://web.hku.hk/~jdong/img/mmtbernoullip.gif"/>
               <br/>
               成为原总体的p的估计量.
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-284110">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年2月26日 下午5:36
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-284110">
               8 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-284110 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-8 user-id-103183 topic-author post-284110 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
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               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/abaead86be3dc59380199f1e9e35c5bb?s=80&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong class="d4pbbc-bold">
                题 设X~区间[a,b]上的均匀分布, a, b未知, 为参数. 求a, b的矩估计量.
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               矩估计的中心思想是以样本矩估总体矩.
               <br/>
               于是
               <br/>
               <img src="http://web.hku.hk/~jdong/img/mmtuniform.gif"/>
              </p>
              <p>
               仔细想为什么这么矩估计是对的?
               <br/>
               假设今从该均匀分布总体抽出容量为n的样本, 这个样本本身只是n个独立同分布的随机变量. 在其上构造的统计量也是随机变量且分布可推算.
               <br/>
               样本均值 sum(Xi, i=1:n) / n 作为一个随机变量来说它
               <strong class="d4pbbc-bold">
                的期望
               </strong>
               正好是每个Xi的均值也就是总体的均值. 所以从平均意义上来讲均值(一阶矩)的矩估计是有正确意义的.
               <br/>
               而样本方差(分母为n-1的那种形式), 我们也有熟悉的结论, 就是样本方差这一随机变量
               <strong class="d4pbbc-bold">
                的期望
               </strong>
               正好等于总体方差. 所以从平均意义上来讲二阶矩的矩估计也是可以的.
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-300130">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年3月1日 下午3:47
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-300130">
               9 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-300130 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-9 user-id-103183 topic-author post-300130 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong>
                题 试求事件A发生概率p的极大似然估计
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               MLE方法是说在给定了一个(一组)样本后, 这个未知参数要取什么值才能使现在这个样本以最大概率出现. 看似这是一个很有道理的估计方法, 但也有很随意武断的成分, 毕竟样本的抽取不是一个确定的过程, 而是一个随机的过程, 虽不同参数会带来概率上的偏好, 但仍旧不是保证性的抽取某个指定样本.
              </p>
              <p>
               若一事件A发生的概率为p, 我们关注随机变量X为在n次独立试验中A出现的次数, 则X~binom(n,p),
               <br/>
               <bblatex>
                \Pr \left( {X = k} \right) = \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array} \right){p^k}{\left( {1 – p} \right)^{n – k}}
               </bblatex>
               .
               <br/>
               因而p的极大似然估计
               <br/>
               <bblatex>
                \hat p = \arg \mathop {\max }\limits_p L\left( p \right) = \arg \max \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array} \right){p^k}{\left( {1 – p} \right)^{n – k}}
               </bblatex>
               <br/>
               由
               <br/>
               <bblatex>
                \begin{array}{l} 0 = \frac{{dL\left( p \right)}}{{dp}} = \left( \begin{array}{l} n \\  k \\  \end{array} \right)\left[ {k{p^{k – 1}}{{\left( {1 – p} \right)}^{n – k}} – \left( {n – k} \right){p^k}{{\left( {1 – p} \right)}^{n – k – 1}}} \right] \\  \Rightarrow \hat p = \frac{k}{n} \\  \end{array}
               </bblatex>
               <br/>
               可见在这个参数估计问题上极大似然估计和前面矩法估计是一样的.
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-311281">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年11月28日 下午6:31
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-311281">
               10 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
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             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-311281 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-10 user-id-103183 topic-author post-311281 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong>
                概念题 随机变量本身是随机的吗?
               </strong>
               <br/>
               答:随机变量是一个定义在样本空间上的函数。
               <br/>
               样本空间是全体随机实验可能得到的结果的集合。随机性蕴藏在样本空间中。样本空间上的概率测度就是描述这种随机性的数学量。
               <br/>
               随机变量本身不是随机的。随机变量本身是一个函数，是一种确定的传送机制。
               <br/>
               随机变量的状态空间(值域)是和样本空间的同类空间。
               <br/>
               因为样本空间富有随机性，而随机变量是一个确定的传送机制，从而状态空间也富有随机性，除非状态空间是单点集。状态空间上的概率测度描述了状态空间的随机性。
               <br/>
               当状态空间为单点集时，状态空间上的随机性消失。因此当对一个随机变量做期望操作后，随机性消失。
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-311425">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年11月29日 下午5:42
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-311425">
               11 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-311425 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-11 user-id-103183 topic-author post-311425 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               版主
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong>
                题 你我两人掷一枚均匀硬币打赌。每次翻得正面我得一分，反面你得一分。开始时两个人都是0分。求(i)掷2n次后得分相等的概率；(ii)掷2n+1次后我比你高3分的概率。
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               <strong>
                (i)
               </strong>
               样本空间中一个典型元:HTT….H,是一列2n个H或T组成的串。总共
               <bblatex>
                2^{2n}
               </bblatex>
               个，其中有
               <bblatex>
                \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2n} \\n\end{array}} \right)
               </bblatex>
               个串满足H和T个数相等。故此部所求概率为
               <bblatex>
                \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{n!n!{2^{2n}}}}
               </bblatex>
               .
               <br/>
               <strong>
                (ii)
               </strong>
               同(i)的思路。此时
               <bblatex>
                2^{2n}
               </bblatex>
               中有
               <bblatex>
                \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2n+1} \\{n+2}\end{array}} \right)
               </bblatex>
               个串满足含有H比T多三个。故此部所求概率为
               <bblatex>
                \frac{{\left( {2n+1} \right)!}}{{(n+2)!(n-1)!{2^{2n}}}}
               </bblatex>
               .
              </p>
              <p>
               <strong>
                题 2^n位网球手进行淘汰赛。n轮过后将决出冠军。任何一轮中任何一场比赛的配对完全随机。求指定两人在前两轮相遇的概率，在最后两轮相遇的概率，以及从未相遇的概率。
               </strong>
               <br/>
               解
               <br/>
               此题关键在于通过”Principle of Indifference”来假设所有选手实力相当，并在此假设结合到条件”任何一场比赛的配对完全随机”后能够意识到结果所隐含的强
               <u>
                对称性
               </u>
               ，即任何一个人得到冠军的概率都是一样的。
               <br/>
               于是在想清楚以上这一点后，题目便迎刃而解了。
               <br/>
               首先，巧妙地选择样本空间为全体可能的配对，共有
               <bblatex>
                \left( {\begin{array}{*{20}{c}}  {{2^n}} \\   2 \end{array}} \right) = \frac{{\left( {{2^n}} \right)!}}{{\left( {{2^n} – 2} \right)!2!}} = {2^{n – 1}}\left( {{2^n} – 1} \right)
               </bblatex>
               对。
               <br/>
               事先选好的两个人等概率地出现在这其中任何一对。进行整个一次比赛，会出现
               <bblatex>
                {2^{n – 1}} + {2^{n – 2}} +  \cdots  + 2 + 1 = {2^n} – 1
               </bblatex>
               个配对。
               <br/>
               那么这两个人出现在比赛中某一对的概率是
               <bblatex>
                1 – \frac{{{2^n} – 1}}{{{2^{n – 1}}\left( {{2^n} – 1} \right)}} = 1 – \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}
               </bblatex>
               。
               <br/>
               顺着相同的思路，他们出现在前两轮和末两轮的概率分别是
               <bblatex>
                \frac{{{2^{n – 1}} + {2^{n – 2}}}}{{{2^{n – 1}}\left( {{2^n} – 1} \right)}} = \frac{3}{{2\left( {{2^n} – 1} \right)}}
               </bblatex>
               和
               <bblatex>
                \frac{3}{{{2^{n – 1}}\left( {{2^n} – 1} \right)}}
               </bblatex>
               .
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-311539">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2010年12月2日 下午3:13
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/18435/#post-311539">
               12 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-311539 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-991 bbp-parent-topic-18435 bbp-reply-position-12 user-id-103183 topic-author post-311539 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
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              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/103183/" rel="nofollow" title="查看easttiger的档案">
               easttiger
              </a>
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              <div class="bbp-author-role">
               版主
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             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               <strong>
                题 屋内有n人.求(1)当n=22或n=23时，至少两人同一天生日的概率；(2)至少有一人与你同一天生日的概率，并求n为几时这个概率接近于1/2.
               </strong>
              </p>
              <p>
               <strong>
                题 甲掷n+1次硬币，乙掷n次硬币。求甲比乙得到更多正面的概率。
               </strong>
              </p>
              <p>
               <strong>
                题 掷6n次骰子。求每个数字个恰好出现n次的概率。
               </strong>
              </p>
             </div>
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             作者
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             帖子
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            <p>
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